PCA案例

在机器学习中，所使用的数据往往维数很大，我们需要使用降维的方法来突显信息含量较大的数据，PCA就是一个很好的降维方法。下面我们来看一个具体的应用案例，为了简单起见，我们使用一个较小的数据集来展示：

PCA虽然能实现很好的降维效果，但是它却是一种无监督的方法。实际上我们更加希望对于有类别标签的数据（有监督），也能实现降维，并且降维后能更好的区分每一个类。此时，特征抽取的另一种经典算法——线性判别分析（LDA）就闪亮登场了。

LDA简介

LDA是一种监督学习的降维技术，也就是说它的数据集的每个样本是有类别输出的。这点和PCA不同。PCA是不考虑样本类别输出的无监督降维技术。LDA的思想可以用一句话概括，就是“投影后类内方差*小，类间方差”。什么意思呢？ 我们要将数据在低维度上进行投影，投影后希望每一种类别数据的投影点尽可能的接近，而不同类别的数据的类别中心之间的距离尽可能的大。

上图中提供了两种投影方式，哪一种能更好的满足我们的标准呢？从直观上可以看出，右图要比左图的投影效果好，因为右图的黑色数据和蓝色数据各个较为集中，且类别之间的距离明显。左图则在边界处数据混杂。LDA的降维效果更像右图，它能在新坐标轴上优先区分出两个类别，它是如何实现的呢？

LDA的原理

LDA的主要思想是“投影后类内方差*小，类间方差”。实质上就是很好的区分出两个类的分布。我们知道衡量数据分布的两个重要指标是均值和方差，对于每一个类，他们的定义如下：

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