动水力矩是蝶阀设计中的一个重要参数，尤其是在研究管路中的水锤压力时，应准确地了解阀门的启闭速度和在各种开度下作用在转轴上的力矩。当然，对于中线对称阀瓣的蝶阀，其力矩可按经验公式计算[1]：

        （1）

    式中，m_β为开度为β角时的动水力矩系数；ξ_β为开度为β角时的阻力系数；ξ₀为全开（β=0）时的阻力系数；v为流速，mm/s；D为公称通径，mm；H为计算升压在内的静水头，mm，且

    H=9.8×10⁴（p+Δp）

    或

        （2）

    式中，b为阀瓣中心处厚度，mm；p为计算压力，MPa；Δp为阀前压力升值，MPa。

    式（1）中的动水力矩系数m_β和阻力系数ξ_β等均是根据具体的阀瓣结构和阀瓣开度等参数而确定的实验系数。因此，对于目前结构形式多样的偏心蝶阀仍旧使用上述公式计算力矩，必然会带来较大的误差。

    本文采用理想流体无旋流动的假定，简化问题，求解拉普拉斯方程，得出速度的分布，然后再由伯努利方程（Bernoulli）求出阀瓣上的压力分布，并进而求出作用在转轴上的力矩。

    1 同心蝶阀的动水力矩

    同心蝶阀的动水力矩用经验公式求取，误差比较小.下面给出一个计算实例作一直观的了解。

    已知b=8mm，D=8Omm，v=1m/s，则由式（2）可得：H=6.351m，各开度下的系数由文献[1]查表可以得到。由式（1）计算出阀瓣在各个开度下的动水力矩，将获得的数据处理后得到动水力矩拟合曲线，见图1。

    由图1可以看出：同心蝶阀的动水力矩的值发生在开度为60°~80°之间。

    2 三偏心蝶阀的动水力矩

    2.1 三偏心蝶阀的结构

    三偏心是指蝶板的回转中心0相对于蝶板中心在轴向存在偏心距c和在径向存在偏心距e，另外，阀座所在的圆锥形的高线与阀体中心线有一个夹角φ构成了蝶阀的第三个偏心，即角偏心。如图2所示的三偏心蝶阀的结构是广为采用的θ=φ的情况，T₁T₂为三偏心蝶阀蝶板的中性面。

    2.2 三偏心蝶板的简化

    为了计算方便，在不影响计算结果的情况下，作如下简化：以中性面的长半轴为半径，厚度保持不变，得到新的圆柱体来代替原来的蝶板。为此，给出以下数据作为计算的依据。

    管道公称通径为D=8Omm，公称压力为1.0MPa.正圆锥的半锥角θ=10°，中性面的长半轴A=39mm，蝶板厚度E=8mm。

    由图2几何关系可得圆锥底半径^[2]：

    中性面的短半轴为^[2]

    为保证蝶板与阀座不发生干涉，三偏心蝶阀的偏心距取值范围为^[2]

    径向偏心距（3）

    轴向偏心距

    即4≤c≤16.76 （4）

    为了尽可能减小蝶阀的开启力矩，取e=5mm，c=6mm。

    2.3 蝶板在任一位置时相关方程的推导

    如图2所示，蝶板在关闭状态ii位置时，其密封表面上任一点P（x，y，z）应满足方程：

        （5）

    即    （6）

    当蝶板处于任意位置i时，设从ii到i蝶板旋转的角度为α，则蝶板密封表面上任一点P₁（x₁，y₁，z₁），由旋转变化的关系应满足方程^[3]：

    求解后代入式（6）可得：

        （7）

    2.4 大开度情况下的基本假定

    在计算大开度情况下蝶阀的动水力矩时，作了如下三个基本假定。

    1）介质是不可压缩的理想流体，把流体看作是理想流体，在计算摩擦阻力时是行不通的。但由于现在求取的是压力分布，则可以把流体假定为理想流体，必要时，可对蝶板的厚度加以修正，使计算的压力分布更接近于实际情况。
    2）阀门处于大开度的状态，为避免较大的误差，假定蝶板的开度小于3O°。
    3）流态是无旋流动。

    2.5 控制方程及边界条件

    对于不可压缩流体有连续方程^[4]：

    ▽v=0    （8）

    根据流动是无旋的假定，可引入速度势Ф，它与速度的关系为

    v=▽Φ   （9）

    由式（8，9）可得关于Ф的拉普拉斯方程：

    ▽²Φ=0    （1O）

    式（1O）的边界条件如下：

    管道进口处速度：
    管道出口处速度：     （11）

    管道内壁处法向速度：
    蝶板表面处法向速度：

    式中，n指的是相应曲面的外法线单位向量.当进出口截面积相等时，显然有v_in=v_out。

    根据上述方程可求出Φ和速度v，由于流体作无旋流动，由伯努利方程可得蝶板上的压力分布^[5]：

        （12）

    式中，p为压力；ρ为液体的密度；C为常量。

    2.6 网格的构造与方程的差分离散

    坐标系的选择在处理圆管内流动问题时，通常采用柱坐标，此时的管壁条件很容易处理，其法线方向即为半径r的方向。然而，在处理蝶板边界条件时，必须进行两次近似，一是将边界点移到邻近的网格点上，造成所谓的“转移误差”，二是在求法向导数的差分时，需要用插值法求值，这必然要产生插值误差。

    采用图2所示的直角坐标系，这不仅能将式（10）简单地写成如下形式：

        （13）

    而且蝶板上的边界条件能被精确处理。

    2.7 计算网格的构造^[6]

    如图3所示将蝶板按步长h₁=2mm，等分为4等份，各层分别标识为I~V，对于第I和第V层，其表面上的网格点均为边界点，与边界条件有关，第Ⅱ~Ⅳ层上的网格点除去圆周上的点均为内部点。由于蝶板关于y′轴对称，故只需计算蝶板对称一侧的点即可。

    2.8 方程的差分离散[7]

    对于式（13）其二阶偏导数用中心差分逼近，即五点差分格式，简化如下：

        （14）

    对和也可以给出类似的结果，把它们代入到式（13）得到差分离散后关于Φ的拉普拉斯方程（七点差分格式）：

        （15）

    式中，i，j，k分别表示x，y，z方向网格点的下标，h_x，h_y，h_z分别是三个方向的网格步长。

    2.9 边界条件的处理

    对于进口边界条件用向前差分格式，而出口截面的边界条件用后差，例如对于出口有：

    v_out=（Φ_N-Φ_N-1）/h_N-1    （16）

    选用直角坐标后，蝶板上表面的边界条件为

        （17）

    在作差分离散时，对于上表面及均用前差，对于下表面也有类似的结果，但离散时要求用后差。

    3 计算方法

    3.1 拉普拉斯方程的数值求解法

    拉普拉斯方程的求解方法很多，不逐一列举，作为初步计算，可用高斯一塞德尔迭代法^[5]，尽管此方法收敛速度慢，但它所需的内存*少，可以逐点迭代推进，计算方法比较成熟。对于式（14）所示的差分方程，可用高斯-塞德尔法写出它的迭代公式，为使公式不至太冗长，暂时令网格为等距网格。

    3.2 步长的选择

    既要保证计算精度，又要节省计算机的内存和计算的时间，步长的选择不宜过小，划分的网格不宜过密，这里采用等间距的网格点。x方向的步长h_x=3mm，为了使对应的网格点能够精确地落在蝶板上，避免“转移误差”，y方向的步长h_y应由蝶板开度β和z方向的步长h_z决定。即有如下几何关系：

    h_y=h_ztanβ    （18）

    若沿蝶板倾斜的方向（即y′轴的方向）取等分步长h=3mm，则有

    故（19）

    若取β=30°，则有h_y=1.5，h_z=2.598，蝶板开度为β时其左侧起始坐标设为y₀，z₀，右侧坐标设为y_n，如图3所示。

    3.3 差分方程的迭代公式

    由以上分析知沿坐标轴三个方向的步长均为等间距，分别为h_x=3mm，h_y=1.5mm，h_z=2.598mm，令

    则迭代公式为

        （2O）

    式中，上标n表示前一迭代层的值，而n+1则表示这一迭代层的值。

    3.4 迭代收敛准则的选取

    在计算中选用的收敛准则为^[8]

    △Φ^max_i,j,k |Φⁿ⁺¹_i,j,k - Φ_i,j,k ⁿ|<ε（21）

    3.5 动水力矩的求取

    在用伯努利方程求出压力之后，就可以计算作用在蝶板微元面积上的力，进而求出相应的力矩。对于蝶板内部的网格点M，在该点的压强求出之后，以M点为中心，分别向前、后、左、右延伸相应的半个步长所形成的矩形面积作为压强作用面，求出压力后，把M点作为力的作用点求出对旋转轴的力矩。对于与蝶板边界近邻的网格点，可按类似的方法构筑近似的面积。但由于理想流体的假定会使近边缘处压差计算值偏大，因此要作必要的修正。

    4 举例

    对三偏心蝶阀的流场和压力分别进行计算，得出在不同开度下所对应的动水力矩。图4和图5表示改变径向偏心和轴向偏心时相应的拟合曲线[9]。

    5 结论

    1）三偏心蝶阀的动水力矩值发生在蝶板完全关闭的瞬间。
    2）三偏心蝶阀的动水力矩对操作扭矩的影响不是很大。
    3）三偏心蝶阀的操作扭矩主要是由阀座与蝶板间的压力以及阀杆与密封件、轴承之间的摩擦力决定的。

原创作者：浙江金锋自动化仪表有限公司