阀门定位器和气动调节阀配套使用能提高阀门位置的线性度，克服阀杆的摩擦力及消除调节阀的不平衡力的影响，从而保证阀门开度的准确度。为了使阀门开度达到一定的精度，必须使执行机构位置反馈系统达到相应的精度。也就是说，如果将定位器的基本误差定为±A%，那么位置反馈系统的精度也应达到±A%。

    要将执行机构的直线位移转变为阀门定位器所需的转角位移，常见的有两种机构，一种是正切机构，另一种是正弦机构（见图1）。不妨设定，通过反馈杆转轴并垂直于阀杆的直线是基准线，这两种机构的反馈杆摆角幅度相等，且执行机构的行程参数一致，即设直行程执行机构的额定行程为L，反馈杆转轴到阀杆的距离为L₁（正切机构）、L₂（正弦机构），反馈杆与基准线的夹角为θ，执行机构在基准线一侧的行程为L₀，反馈杆与基准线的夹角的极限值为θ₁。我们所要求的反馈系统允许总误差[ΔL]是±A%L，分为系统误差和随机误差两项，其中要将系统误差限制在允许总误差的1/3的范围内，故取误差分配系数α=1/3。

    1 正切机构和正弦机构

    正切机构，L₀=L₁tgθ；正弦机构，L₀=L₂sinθ。这两种机构都是非线性的。

    根据正切机构和正弦机构的函数，将它们求微分，并将dL₀和dθ分别用[ΔL]和[Δθ]代替，则位置允许误差[ΔL]引起的轴Q₁转角允许误差[Δθ]可表示为

    正切机构：[Δθ]=[ΔL]cos²θ/L₁    （1）
    正弦机构：[Δθ]=[ΔL]/L₂cosθ     （2）

    由式（1）、式（2）可知，转角允许误差[Δθ]并非常数，转角θ在基准线上下各90°的范围内。相对于正切机构，若θ的绝对值增大，则[Δθ]减小，所以要在机构所允许的转角极限位置θ₁处，用位置允许误差[ΔL]来计算转角允许误差，这时求得的[Δθ]是*严格的。相对于正弦机构，[Δθ]随着θ绝对值的增大而增大，因此要在反馈杆和基准线重合时计算转角允许误差，此时对于式（2），θ=0°。注意，θ₁是反馈杆偏离基准线的转角，它可以在基准线的上方，也可以在其下方。在这个极限位置上，对于正切机构，tgθ₁=L_max/L₁，对于正弦机构，cos0°=1，sinθ₁=L_max/L₂，（ L_max为反馈杆在极限位置时执行机构的行程），将它们分别代入式（1）、式（2），可得

    正切机构：[Δθ]=[ΔL]sinθ₁cosθ₁/L_max=[ΔL]sin2θ₁/2L_max     （3）
    正弦机构：[Δθ]=[ΔL]sinθ₁/L_max                             （4）

    在极限转角为θ₁的情况下，式（3）代表了正切机构在转角处的转角允许误差，式（4）代表了正弦机构在反馈杆和基准线重合时的转角允许误差，它们分别代表了对这两种机构*严格的要求。

    根据式（3）、式（4），在[0，45°]区域，随着θ₁的增大，[Δθ]也增大，当45°≤θ₁≤90°时，式（3）的[Δθ]随着θ₁的增大而减小，式（4）的[Δθ]反之。如果θ₁过大，会对反馈机构的尺寸造成一些限制，给设计、加工和装配带来不便。因此，可设不论是正切机构还是正弦机构，在执行机构满行程时，反馈杆摆角均为±45°（基准线是x轴），此时转角的允许误差[Δθ]。很明显，如果两个式子的[ΔL]、L_max、θ₁分别相等，在摆角处，通过正弦机构获得的允许转角误差大于通过正切机构获得的允许转角误差，所以选择正切机构进行精度研究可以得到更严格的结果。但在实际应用中，反馈杆极限摆角不可能正好被调整到±45°，而只能给出一个极限摆角的范围，只要极限摆角位于这个范围中，就可以获得足够大的转角允许误差。

    不论是哪种机构，转角都远远大于传统的阀门定位器，这样，机构的非线性影响也就更大，不过通过软件可以很好地解决这一问题。大转角带来的另一负面效应即大的转角不太适应小行程的调节阀，这样会使反馈杆的可用长度过短，不利于安装与调试。较好的解决手段就是合理的设计反馈杆等联接件。

    2 反馈系统的运动方程式

    原本对反馈系统可以建立运动方程式：

    正切机构：φ=Karctg（ L₀/L₁）     （5）
    正弦机构：φ=Karcsin（ L₀/L₂）    （6）

    式中：K为两种机构*终检测到的转角φ与图1中轴O₁转角之间的比例系数。式中的L₀与φ不是线性关系，不能用线性方法建立关于精度的方程。考虑到该式表达的是阀杆位移和*终检测转角φ之间的关系，而前文已经将阀杆的位移特性转化为轴O₁转角的特性，对于两种不同的机构，根据式（5）、式（6）及两种机构的方程式，可以建立并使用同一运动方程式：

    φ=K₁θ     （7）
    或θ=K₂φ   （8）

    这是一个线性的系统，K₁=1/K₂，K₁和K₂无疑是由检测端和轴O1之间的机构决定的，如果不能决定这个机构，也就无法对该机构的传动精度作出计算。

    机构应具有足够的传动精度，因此，必须尽量减少传动链中传动件的数目，缩短传动链，以减少误差来源。同时，机构还能将位移量放大，从而保证足够的灵敏度和分辨率。一级齿轮机构就是一种简单、可靠，且又能满足要求的机构（见图2）。

    根据图2，用微分法从式（7）、式（8）分别可得

    Δθ₁=K₁Δθ+Δφ     （9）
    Δθ₂=K₂Δφ+Δθ     （10）

    式中：Δθ₁和Δθ₂分别为轴O₂和轴O₁转角输出误差；Δθ和Δφ则代表轴O₁和轴O₂上由各自本身因素

    引起的转角误差；K₁是轴O₁到轴O₂的误差传递系数；K₂为轴O₂到轴O₁的误差传递系数：

    K₁=Z₁/Z₂     （11）
    K₂=Z₂/Z₁     （12）

    当然，式（9）、式（10）也可以写成以下公式：

    Δθ₁=[（ K₁Δθ）² +（Δφ）²]^1/2     （13）
    Δθ₂=[（ K₂Δφ）² +（Δθ）²]^1/2     （14）

    在这套反馈系统中，轴O₂是测量参数的输出轴，要求反馈系统的误差实际上也就是求轴O₂的输出误差，一般而言，应使用式（9）或式（13）。不过前文所提的转角允许误差为轴O₁转角允许误差，并且系统为线性系统，因此不妨直接使用式（10）或式（14），以轴O₁为测量参数的输出轴，这就可以通过对轴O₁的计算输出误差和转角允许误差的比较来分配制造误差。实际上这两种方法是等效的。因为K₁=1/K₂，所以Δθ₁ =K₁Δθ₂。将轴O1转角允许误差[Δθ₁]放大K₁倍与Δθ₁进行比较和将Δθ₁缩小K₁倍变成Δθ₂与允许误差[Δθ₁]进行比较是一致的。

    3 系统误差分析

    反馈系统检测*终转角的传感器采用的是导电塑料电位器，其精度应属系统误差。本处使用的传感器给出了独立线性度的指标±e%，那么精度受其量程的影响。若设它的允许转角为φ，则

    Δφ_max=e%φ （15）

    式中：Δφ_max为输出转角的偏差。

    前文指出，正切机构和正弦机构都是非线性的，如果不解决这个问题，所测得的行程和实际行程相比就会产生较大的误差。例如，正切机构的反馈杆的转角在+30°处，反馈杆在水平位置处的杆长为L₁，在不进行线性修正的情况下，可以测得阀杆相对于水平位置的行程为πL₁/6，即0.524L₁，而实际它相对于水平位置的行程为0.577L₁，即便反馈杆能摆到±45°的摆角，测量的相对误差仍然可以达到（0.577L₁-0.524L₁）/2L₁，即2.65%，这是不能接受的。而经过计算机软件的计算修正处理后，正切与正弦机构产生的误差已经很小，相对于转角误差可以忽略不计。

    4 随机误差分析

    一系列轴系是位置反馈系统的重要环节，轴系精度的*终反映是输出轴的转角误差。轴的径向跳动和纯摆动是产生这个转角误差的关键，因此必须找出引起径向跳动和纯摆动的原因。

    对于反馈系统，可以考虑以下几个误差源，即齿轮的制造误差、齿轮孔和轴之间的间隙等等。这几个误差的大小、方向均不明确，但分布却符合统计规律，是随机误差。它们均可表现为主轴回转中心的偏移，这种偏移造成的转角误差可以用下式求得

    Δψ=Esinα/R     （16）

    式中：Δψ为转角误差；E为各误差所表现的轴系回转中心的偏移量；α为偏心的移动方向和测量点方向的方位角；R为测量点的半径。分别求得各种因素引起的转角误差后，再按均方根合成，就可以得到轴系的转角误差。通过相应的复位机构，就能消去齿轮传动链的回程误差。

    5 误差计算

    在进行误差计算以前，应对整个反馈系统的机械结构尺寸关系作适合工业现场条件的规定。参照前文的研究，将反馈杆的极限摆角设在±45°，同时设定一个极限摆角的范围。为了装配方便，以及提高系统的通用性与适用性，可以设反馈杆极限摆角的范围为±25°到±45°。在安装阀门定位器的时候，只要将轴O₁定位在（40%~60%）L的范围内，保证转角在极限摆角范围之内，即可正确安装。此时

    2L_max=（1~1.2）L     （17）

    将这些有利于安装者的直观规定转变成位置反馈系统的数学条件，可知若反馈机构是正切机构，基准线两侧行程之比为6:4 时，反馈杆的*小摆角为43°，其中基准线一侧的摆动幅度达到25°。若该机构是正弦机构，则反馈杆的*小摆角为42°。再取*严格的条件，即极限摆角为25°，2L_max=1.2L，计算转角允许误差。

    将这些条件代入式（3），可得

    [Δθ]=[ΔL]sin50°/1.2L     （18）

    若将位置反馈系统的基本误差定为±0.5%，即ΔL=±0.5%L，代入上式得

    [Δθ]=0.005sin50°/1.2=0.0032=0.1829°=10.97′

    前文已经取误差分配系数α=1/3，这样系统误差的允许值[Δθ]₁=α[Δθ]=3.66′，随机误差的允许值[Δθ]₂=（1 -α）[Δθ]=7.31′。

    现在计算系统误差，设大小齿轮齿数之比为3，已知传感器的独立线性度为±0.05%，其允许转角φ=340°，代入式（15）后，系统误差Δφ_max1=0.0005×340°=0.17°=10.2′。利用式（10）计算该误差在轴O1上产生的误差，Δφ_max=Δφ_max1/3=3.4′。该误差小于系统误差的允许值。

    随机误差按式（14）分配
    因为，，
    所以，K₂Δφ≤[Δθ]₂/=5.17′，
    Δθ≤[Δθ]₂ /=5.17′，
    Δφ≤15.51′。

这样，选定轴O₁、轴O₂上各个零件精度等级，将加工误差代入式（16），计算并按均方根合成得

    σ₁=1.682′<5.17/3′=1.72′
    σ₂=4.39′<15.51/3′=5.17′

    至此可知，两轴的精度都能达到要求。

    将随机误差按式（14）合成

    与系统误差合成后，Δθ=3.4′+6.69′=10.09′，将其代入式（18）后计算得到位置反馈系统得基本误差为±0.46%，所以系统精度符合要求。

    6 用于角行程执行机构的精度

    将这套位置反馈系统用于角行程执行机构，从输入到输出都是转角，是一个线性的系统，就可以直接把基本误差±A%乘以执行机构的角行程φ，得到轴O1的转角允许误差：

    [Δθ]=±A%φ     （19）

    我们也考虑*严格的情况，在*小额定行程即转角50°的情况下，如果基本误差仍为±0.5%，获得的转角允许误差为±15′。这样的范围显然要比用于直行程执行机构的情况要宽松，因而上述计算的位置反馈系统也适用于角行程执行机构。

    7 结束语

    对于直行程执行机构，考虑到转角误差随着反馈杆转角的变化而变化，和安装附件的加工装配难度，得出摆角是45°时，能获得*严格解。对于角行程执行机构，只要将基本误差乘以执行机构的额定行程即可得转角允许误差，适合直行程执行机构的解也适用于角行程执行机构。

    我们对整个反馈系统进行了设计，确定了能指导系统设计的机构运动方程和误差合成的方程，并全面的分析了反馈系统内的系统误差和随机误差，*终完成了一个反馈系统的精度设计。还初步分析了阀门定位器的安装条件，使其获得良好的装配性能。

    必须指出的是，反馈系统位置输入的误差（如执行器的制造误差）会造成整个系统误差的变大，具体表现是阀门定位器工作时，实测阀位的偏差尤其是回差的变大。提高反馈系统精度的关键在于提高相关零部件的加工、制造精度和装配精度。

原创作者：浙江金锋自动化仪表有限公司